একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি [পদার্থবিজ্ঞান প্রথম পত্র] অধ্যায়: দ্বিতীয়

১) একই জাতীয় দুটি ভিন্ন মানের ভেক্টরের লব্ধি কি শূন্য হতে পারে?

উত্তর: দুটি ভেক্টরের ক্ষেত্রে একজাতীয় দুটি সমমানের বিপরীত ভেক্টর একই রেখায় ক্রিয়াশীল হলে লব্ধি শূন্য হতে পারে না। তাই লব্ধি শূন্য হবে না।

২) সমমানের দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান কি ভেক্টরদ্বয়ের যেকোনো একটির মানের সমান হতে পারে?

উত্তর: সমমানের দুটি ভেক্টর পরস্পর ১২০০ কোণে ক্রিয়াশীল হলে তাদের লব্ধি ভেক্টরদ্বয়ের একটির সমান হতে পারে।

৩) দুটি ভেক্টরের লব্ধি কি যেকোনো একটি ভেক্টর থেকে ছোট হতে পারে?

উত্তর: পারে। দুটি সমমানের বিপরীত ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হয়।

৪) নাল ভেক্টরের সুনির্দিষ্ট দিক নেই কেন?

উত্তর: কারণ, নাল বা শূন্য ভেক্টরের মান শূন্য। তাই শূন্য ভেক্টরের কোনো সুনির্দিষ্ট দিক নেই।

৫) শূন্য ভেক্টরের মান শূন্য, তাহলে এ ভেক্টরের অর্থ কী?

উত্তর: দুটি সমমানের বিপরীত ভেক্টরের যোগের ফলে শূন্য ভেক্টর পাওয়া যায়।

৬) একটি স্কেলার রাশির মান কি প্রসঙ্গ কাঠামোর ওপর নির্ভর করে?

উত্তর: প্রসঙ্গ কাঠামোর ওপর স্কেলার রাশির মান নির্ভর করে। একটি গাড়ির দ্রুতির মান গাড়িতে অবস্থানরত যাত্রী, রাস্তায় অবস্থানরত দর্শক বা অন্য কোনো গাড়িতে বসে থাকা যাত্রীর কাছে আলাদা মনে হবে।

৭) সময়ের মান ও দিক থাকলেও এটি ভেক্টর নয় কেন?

উত্তর: কারণ, সময় ভেক্টর রাশির যোগের বা গুণের নিয়ম মেনে চলে না।

৮) তড়িৎ প্রবাহ বা তাপমাত্রা ভেক্টর রাশি নয় কেন?

উত্তর: কারণ, এরা ভেক্টরের যোগের বা গুণের সূত্র মেনে চলে না।

৯) একটি ভৌত রাশির মান ও দিক থাকলেই কি সেটি ভেক্টর বলে গণ্য হবে?

উত্তর: না। একটি ভৌত রাশিকে তখনই ভেক্টর রাশি বলা যাবে, যখন তা ভেক্টরের যোগের বা গুণের নিয়ম মেনে চলবে।

১০) বিভিন্ন মানের তিনটি ভেক্টরের লব্ধি কি শূন্য হতে পারে?

উত্তর: বিভিন্ন মানের তিনটি ভেক্টর একই ক্রমে ক্রিয়াশীল বিবেচনা করলে লব্ধি শূন্য হবে।

১১) স্কেলার ও ভেক্টর গুণনের গুরুত্ব কী?

উত্তর: পদার্থবিজ্ঞানের ভেক্টর রাশির স্কেলার ও ভেক্টর গুণন খুবই গুরুত্বপূর্ণ। পদার্থবিজ্ঞানে প্রাপ্ত অনেক সমীকরণকে স্কেলার বা ভেক্টর গুণনের নিয়মে প্রকাশ করা যায়।

১২) স্কেলার গুণন ও ভেক্টর গুণনের বৈশিষ্ট্য কী?

উত্তর: দুটি ভেক্টর স্কেলার গুণফল একটি সংখ্যা, কিন্তু ভেক্টর গুণফল একটি ভেক্টর।

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে স্কেলার গুণফল হবে শূন্য, কিন্তু ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল হলে ভেক্টর গুণফল হবে শূন্য। স্কেলার গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে, কিন্তু ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

১৩) কোনো ভেক্টরকে স্কেলার রাশি দ্বারা গুণ করলে কী হবে?

উত্তর: কোনো ভেক্টরকে স্কেলার রাশি দ্বারা গুণ করলে একটি নতুন ভেক্টর পাওয়া যায়।

১৪) শূন্য ভেক্টর কী?

উত্তর: যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে শূন্য বা নাল ভেক্টর বলে। যখন আমরা কোনো ভেক্টরকে শূন্য দ্বারা গুণ করি, তখন শূন্য ভেক্টর পাই।

১৫) ভেক্টর যোগ বা বিয়োগের ক্ষেত্রে আবশ্যকীয় শর্ত কী?

উত্তর: ভেক্টর যোগ বা বিয়োগ যা-ই করা হোক না কেন, ভেক্টরগুলোকে একই প্রকারের হতে হবে। বেগের সঙ্গে ত্বরণকে যোগ করা যায় না।

১৬) ভেক্টর রাশির যোগ, বিয়োগ, বীজগণিতের সাধারণ নিয়মে হয় না কেন— ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: স্কেলার রাশির শুধু মান থাকায় এদের যোগ, বিয়োগ ইত্যাদি বীজগণিতের সাধারণ নিয়মানুসারে হয়ে থাকে। কিন্তু ভেক্টর রাশির মান ও দিক দুই-ই থাকায় এদের যোগ, বিয়োগ ইত্যাদি বীজগণিতের সাধারণ নিয়মানুসারে করা যায় না। ভেক্টর বীজগণিত নিয়মে করা হয়। কারণ, ভেক্টর রাশির দিক এদের লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিকের ক্ষেত্রে বিঘ্ন ঘটায়।

১৭) ত্রিভুজের তিনটি বাহু যদি একইক্রমে তিনটি ভেক্টরকে নির্দেশ করে তাহলে ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি শূন্য হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: ত্রিভুজের তিন বাহু যদি একইক্রমে তিনটি ভেক্টরকে নির্দেশ করে তাহলে ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি শূন্য হয়। কারণ, কোনো ত্রিভুজের দুই বাহু একইক্রমে গৃহীত দুটি ভেক্টরের লব্ধি বিপরীতক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু দ্বারা নির্দেশ করে। আবার তৃতীয় বাহু বরাবর সমান ও বিপরীত ভেক্টর ক্রিয়ারত থাকায় এদের লব্ধি শূন্য হয়।

১৮) ত্রিভুজের তিনটি বাহু যদি একইক্রমে তিনটি ভেক্টরকে নির্দেশ করে তাহলে ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি শূন্য হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: ত্রিভুজের তিন বাহু যদি একইক্রমে তিনটি ভেক্টরকে নির্দেশ করে তাহলে ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি শূন্য হয়। কারণ, কোনো ত্রিভুজের দুই বাহু একইক্রমে গৃহীত দুটি ভেক্টরের লব্ধি বিপরীতক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু দ্বারা নির্দেশ করে। আবার তৃতীয় বাহু বরাবর সমান ও বিপরীত ভেক্টর ক্রিয়ারত থাকায় এদের লব্ধি শূন্য হয়।                                 

১৯) দুই-এর বেশি ভেক্টরের যোগের ক্ষেত্রে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়?

উত্তর: দুইয়ের অধিক ভেক্টরের লব্ধি নির্ণয়ের জন্য ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করা যায়।

২০) পাখি ওড়ার সময় কীভাবে সামনে এগিয়ে যায়?

উত্তর: পাখি ওড়ার সময় পাখার সাহায্যে বাতাসকে পেছনের দিকে ধাক্কা দেয়। ফলে বাতাস দুটি পাখার ধাক্কার লব্ধি বলের বিপরীত দিকে একটি লব্ধি প্রতিক্রিয়া বলের সৃষ্টি করে। যার কারণে পাখি সামনের দিকে উড়ে যায়।

২১) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির সর্বোচ্চ মান কী হবে?

উত্তর: দুটি ভেক্টরের লব্ধির বৃহত্তম মান ভেক্টরদ্বয়ের যোগফলের সমান।

দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধির মান হবে ভেক্টরদ্বয়ের মানের যোগফলের সমান এবং দিক হবে ভেক্টরদ্বয় যেদিকে ক্রিয়া করে, সেদিকে।

২২) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির সর্বনিম্নমান কী হবে?

উত্তর: দুটি ভেক্টরের লব্ধির ক্ষুদ্রতম মান ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান।

দুটি ভেক্টর একই রেখায় পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধির মান হবে ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান এবং দিক হবে বৃহত্তর ভেক্টরের দিকে।

২৩) দুটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হওয়ার শর্ত কী?

উত্তর: দুটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হওয়ার শর্ত— (ক) ভেক্টরদ্বয় যদি নিজেরা শূন্য হয় ও (খ) ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান এবং পরস্পর বিপরীতমুখী হয়। দুটি ভেক্টরের লব্ধি বৃহত্তর অথবা ক্ষুদ্রতম হবে, যদি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ০০ অথবা ১৮০০ হয়।

২৪) লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ— ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ, কারণ লন রোলার টানার সময় আপাত ওজন হ্রাস পায়; কিন্তু ঠেলার সময় আপাত ওজন বৃদ্ধি পায়।

একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি [পদার্থবিজ্ঞান প্রথম পত্র] অধ্যায়: দ্বিতীয়
বিশ্বজিৎ দাস, সহযোগী অধ্যাপক
দিনাজপুর সরকারি কলেজ, দিনাজপুর

 টানার সময় ঘর্ষণ বল কম হওয়ার দরুন লন রোলার টানা অপেক্ষা ঠেলা কষ্টকর।    (চলবে)